Из точки А к окружности проведены касательные AB и АС и секущая AM, проходящая через центр окружности О. Точки В, С, M лежат на окружности (см. рис.). Найдите величину угла AOB, если
1) 25°
2) 45°
3) 60°
4) 65°
5) 75°
Решение.
Треугольники ABO и AOC равны по трем сторонам: AB = AC по теореме о касательных к окружности, проведенных из одной точки, BO = OC как радиусы одной окружности, AO — общая сторона. Поэтому ∠BAO = ∠CAO = 25°. Угол ABO равен 90°, так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу окружности, проведенного в точку касания, поэтому угол AOB равен 65°.
Из точки A к окружности проведены касательные AB и AC и секущая AM, проходящая через центр окружности O. Точки B, С, M лежат на окружности (см. рис.). Известно, что BK = 4, AC = 9. Найдите длину отрезка AK.
1)
2)
3)
4)
5)
Решение.
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, поэтому AB = AC. По теореме Пифагора найдем длину отрезка AK:
В окружность радиусом 6 вписан треугольник, длины двух сторон которого равны 6 и 10. Найдите длину высоты треугольника, проведенной к его третьей стороне.
Решение.
Введём обозначения как на рисунке. Проведем из вершины B высоту BH. Воспользуемся теоремой синусов: , откуда Из прямоугольного треугольника BHC имеем:
Ответ: 5.
Примечание. Можно было бы заметить, что угол BCA равен 30°, а катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
Точки A, B, C разделили окружность так, что градусные меры дуг AB, BC, CA в указанном порядке находятся в отношении 5 : 7 : 6. Найдите градусную меру угла ABC.
1) 50°
2) 60°
3) 70°
4) 100°
5) 120°
Решение.
Сумма градусных мер дуг AB, BC, CA равна 360°. Каждая из долей равна: 360° : (5 + 7 + 6) = 20°. Тогда дуга AC равна 6 · 20° = 120°, а опирающийся на нее вписанный угол равен 60°.