Гра­дус­ная мера угла, об­ра­зо­ван­но­го ка­са­тель­ной и се­ку­щей к окруж­но­сти, равна по­лу­раз­но­сти гра­дус­ных мер дуг, ко­то­рые этот угол вы­се­ка­ет на окруж­но­сти.

Гра­дус­ная мера дуги в два раза боль­ше гра­дус­ной меры впи­сан­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на эту дугу:

Таким об­ра­зом, .

Ответ: 35.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABH: По­сколь­ку все сто­ро­ны тра­пе­ции, кроме боль­ше­го ос­но­ва­ния равны a, по­лу­чим . Тогда В тре­уголь­ни­ке BDH имеем:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABB₁: . Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник : Тогда

Ответ: 10.

По­сколь­ку четырёхуголь­ник впи­сан в окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°. Таким об­ра­зом, .

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

По усло­вию , по­это­му . Сле­до­ва­тель­но, .

Тогда длина сред­ней линии:.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Пусть AB равно x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна т.е. Сумма углов в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не равна 180°, от­ку­да сле­ду­ет, что сумма углов, дан­ная в усло­вии — есть сумма углов при ос­но­ва­нии AD, ко­то­рые равны.

Про­ве­дем из вер­ши­ны B вы­со­ту BH. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH угол BAH равен 30°, от­ку­да сле­ду­ет, что По­это­му из пло­ща­ди тра­пе­ции най­дем x:

Таким об­ра­зом, пе­ри­метр тра­пе­ции равен

Ответ: 34.

Гра­дус­ная мера угла, об­ра­зо­ван­но­го ка­са­тель­ной и се­ку­щей к окруж­но­сти, равна по­лу­раз­но­сти гра­дус­ных мер дуг, ко­то­рые этот угол вы­се­ка­ет на окруж­но­сти.

Гра­дус­ная мера дуги в два раза боль­ше гра­дус­ной меры впи­сан­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на эту дугу:

Таким об­ра­зом, .

Ответ: 65.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABH: По­сколь­ку все сто­ро­ны тра­пе­ции, кроме боль­ше­го ос­но­ва­ния равны a, по­лу­чим . Тогда В тре­уголь­ни­ке BDH имеем:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABB₁: . Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник : Тогда

Ответ: 5.

Гра­дус­ная мера угла, об­ра­зо­ван­но­го ка­са­тель­ной и се­ку­щей к окруж­но­сти, равна по­лу­раз­но­сти гра­дус­ных мер дуг, ко­то­рые этот угол вы­се­ка­ет на окруж­но­сти.

Гра­дус­ная мера дуги в два раза боль­ше гра­дус­ной меры впи­сан­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на эту дугу:

Таким об­ра­зом, .

Ответ: 50.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABH: По­сколь­ку все сто­ро­ны тра­пе­ции, кроме боль­ше­го ос­но­ва­ния равны a, по­лу­чим . Тогда В тре­уголь­ни­ке BDH имеем:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABB₁: . Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник : Тогда

Ответ: 12.

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

Градусная мера дуги в два раза больше градусной меры вписанного угла, опирающегося на эту дугу:

Таким образом, .

Ответ: 45.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABH: По­сколь­ку все сто­ро­ны тра­пе­ции, кроме боль­ше­го ос­но­ва­ния равны a, по­лу­чим . Тогда В тре­уголь­ни­ке BDH имеем:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABB₁: . Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник : Тогда

Ответ: 3.

Гра­дус­ная мера угла, об­ра­зо­ван­но­го ка­са­тель­ной и се­ку­щей к окруж­но­сти, равна по­лу­раз­но­сти гра­дус­ных мер дуг, ко­то­рые этот угол вы­се­ка­ет на окруж­но­сти.

Гра­дус­ная мера дуги в два раза боль­ше гра­дус­ной меры впи­сан­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на эту дугу:

Таким об­ра­зом, .

Ответ: 25.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABH: По­сколь­ку все сто­ро­ны тра­пе­ции, кроме боль­ше­го ос­но­ва­ния равны a, по­лу­чим . Тогда В тре­уголь­ни­ке BDH имеем:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABB₁: . Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник : Тогда

Ответ: 14.

По­сколь­ку четырёхуголь­ник впи­сан в окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°. Таким об­ра­зом, .

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

По­сколь­ку четырёхуголь­ник впи­сан в окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°. Таким об­ра­зом, .

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Таким образом, .

Правильный ответ указан под номером 1.

По­сколь­ку четырёхуголь­ник впи­сан в окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°. Таким об­ра­зом, .

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Пусть m — рас­сто­я­ние от пря­мой a до плос­ко­сти α. По­лу­чив­шая фи­гу­ра ABCD — тра­пе­ция, ле­жа­щая в плос­ко­сти , по­сколь­ку . Про­ве­дем из точки D вы­со­ту тра­пе­ции DN. По­лу­чи­ли пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, в ко­то­ром .

Сле­до­ва­тель­но, .

Для пло­ща­ди тра­пе­ции имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

По усло­вию , по­это­му . Сле­до­ва­тель­но,

Тогда длина сред­ней линии:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

По усло­вию , по­это­му . Сле­до­ва­тель­но,

Тогда длина сред­ней линии:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

По усло­вию , по­это­му . Сле­до­ва­тель­но,

Тогда длина сред­ней линии:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

По усло­вию , по­это­му . Сле­до­ва­тель­но,

Тогда длина сред­ней линии:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Пусть AB равно x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна т.е. Сумма углов в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не равна 180°, от­ку­да сле­ду­ет, что сумма углов, дан­ная в усло­вии — есть сумма углов при ос­но­ва­нии AD, ко­то­рые равны.

Про­ве­дем из вер­ши­ны B вы­со­ту BH. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH угол BAH равен 30°, от­ку­да сле­ду­ет, что По­это­му из пло­ща­ди тра­пе­ции най­дем x:

Таким об­ра­зом, пе­ри­метр тра­пе­ции равен

Ответ: 42.

Пусть AB равно x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна т.е. Сумма углов в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не равна 180°, от­ку­да сле­ду­ет, что сумма углов, дан­ная в усло­вии — есть сумма углов при ос­но­ва­нии AD, ко­то­рые равны.

Про­ве­дем из вер­ши­ны B вы­со­ту BH. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH угол BAH равен 30°, от­ку­да сле­ду­ет, что По­это­му из пло­ща­ди тра­пе­ции най­дем x:

Таким об­ра­зом, пе­ри­метр тра­пе­ции равен

Ответ: 30.

Пусть AB равно x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна т.е. Сумма углов в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не равна 180°, от­ку­да сле­ду­ет, что сумма углов, дан­ная в усло­вии — есть сумма углов при ос­но­ва­нии AD, ко­то­рые равны.

Про­ве­дем из вер­ши­ны B вы­со­ту BH. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH угол BAH равен 30°, от­ку­да сле­ду­ет, что По­это­му из пло­ща­ди тра­пе­ции най­дем x:

Таким об­ра­зом, пе­ри­метр тра­пе­ции равен

Ответ: 46.

Пусть AB равно x. Поскольку в трапецию вписана окружность, сумма противоположных сторон равна т.е. Сумма углов в равнобедренной трапеции, прилежащих к одной стороне равна 180°, откуда следует, что сумма углов, данная в условии — есть сумма углов при основании AD, которые равны.

Проведем из вершины B высоту BH. В прямоугольном треугольнике ABH угол BAH равен 30°, откуда следует, что Поэтому из площади трапеции найдем x:

Таким образом, периметр трапеции равен

Ответ: 18.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма найдём

Вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ным три­го­но­мет­ри­че­ским тож­де­ством и найдём , за­ме­тив, что угол ABC тупой:

Те­перь найдём боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма найдём

Вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ным три­го­но­мет­ри­че­ским тож­де­ством и найдём , за­ме­тив, что угол ABC тупой:

Те­перь найдём боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Из фор­му­лы пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма найдём

Вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ным три­го­но­мет­ри­че­ским тож­де­ством и найдём , за­ме­тив, что угол ABC тупой:

Те­перь найдём боль­шую диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.